Введите слово или словосочетание на любом языке 👆
Язык:
Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT
На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:
- как употребляется слово
- частота употребления
- используется оно чаще в устной или письменной речи
- варианты перевода слова
- примеры употребления (несколько фраз с переводом)
- этимология
Что (кто) такое Штурма - Лиувилля задача - определение
ЗАДАЧА ОТЫСКАНИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО (ДЛЯ УРЧП) КРАЕВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Задача Штурма-Лиувилля; Оператор Штурма — Лиувилля; Штурма — Лиувилля задача; Оператор Штурма-Лиувилля
Задача Штурма — Лиувилля
Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке (a,\;b) уравнения Штурма — Лиувилля
Штурма - Лиувилля задача
задача о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения
-[p (x) y']' + q (x) y = λy, (1)
удовлетворяющих граничным условиям вида
A1y (a) + B1y'(a) = 0, А2у (b) + B2y'(b) = 0
(т. н. собственных функций (См. Собственные функции)), а также о нахождении значений параметра λ (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты р (х), q (x) Ш.-Л. з. можно свести к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида
-y" + q (x) y = λy. (2)
Решение некоторых видов уравнений математической физики методом Фурье приводит к Ш.- Л. з. Например, задача о колебаниях однородной струны, закрепленной на концах, приводит к Ш.- Л. з. для уравнения -у" = λу с граничными условиями y (0) = y (π) = 0. В этом случае существует бесконечная последовательность значений 12, 22,..., n2,..., которым соответствуют собственные функции sinnx, образующие на отрезке [0, π] полную ортогональную систему функций (см. Ортогональная система функций). Аналогично обстоит дело и в общем случае, возникающем, например, при изучении распространения тепла в неоднородном стержне и т.д. И здесь, если функция q (x) в уравнении (2) непрерывна и действительна на отрезке [a, b], a A1, B1, A2, B2 - действительные числа, существует возрастающая последовательность действительных собственных значений λ1,..., λп,..., стремящаяся к бесконечности, причём каждому из λп соответствует определённая с точностью до постоянного множителя собственная функция φп (х), имеющая n нулей на участке а < х < b. Функции φп (х) образуют на [а, b] полную ортогональную систему функций [для уравнения (1) имеет место ортогональность с весом р (х)]. Полнота такой системы функций была доказана В. А. Стекловым в 1896. Весьма общие теоремы о разложении функций в ряды Фурье по системе φп (х) доказал Д. Гильберт (1904) с помощью теории линейных интегральных уравнений. При возрастании п собственные значения и собственные функции Ш.― Л. з. для уравнения (2) стремятся к собственным значениям и собственным функциям для уравнения -у" = λу при тех же граничных условиях. Большинство встречающихся в математике ортогональных систем функций, например, многочлены Лежандра, многочлены Эрмита, являются системами собственных функций некоторых Ш.- Л. з.
Иногда Ш.- Л. з. называют краевую задачу для уравнения (1) при более общих краевых условиях:
αiy (а) + βiy'(а) + γiy (b) + δiy'(b) = 0, i = 1, 2,
где αi, βi, γi, δi - постоянные числа. Среди краевых условий такого вида наиболее важными являются у (а) = у (b), y'(a)=y'(b) (периодические условия) и у (а)= -у (b), у'(а) = -y'(b) (полупериодические условия).
Многие задачи математической физики (например, задача о распространении тепла в бесконечном неоднородном стержне) приводит к Ш.- Л. з. на полуоси или на всей оси. В 1-м случае рассматриваются решения уравнения (2), удовлетворяющие условию A1y (0)+B1y'(0) = 0; вместо последовательности собственных функций здесь появляется совокупность собственных функций φ(х, λ), зависящих от непрерывно изменяющегося параметра λ. Вместо разложения в ряды Фурье рассматриваются разложения вида
,
где ρ(λ) - некоторая неубывающая функция. Эти разложения аналогичны Фурье интегралу. При этом
и
.
Аналогичные факты имеют место и для Ш.- Л. з. на всей оси. Для некоторых задач математической физики важное значение имеет обратная Ш.-Л. з., т. е. задача о восстановлении дифференциального уравнения по функции ρ(λ). Эта задача была поставлена в частном случае В. А. Амбарцумяном, а в более общем случае швед. математиком Г. Бортом и решена М. Г. Крейном, И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном.
Ш.- Л. з. возникает также в некоторых вопросах квантовой механики и вариационного исчисления.
Лит.: Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., 3 изд., т. 1, М.- Л., 1951; Сансоне Дж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 1, М., 1953; Левитан Б. М., Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка, М.- Л., 1950.
Ряд Штурма
Система Штурма; Метод Штурма
Ряд Штурма (система Штурма) для вещественного многочлена — последовательность многочленов, позволяющая эффективно определять количество корней многочлена на промежутке и приближённо вычислять их с помощью теоремы Штурма.
Википедия
Задача Штурма — Лиувилля
Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке уравнения Штурма — Лиувилля
удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям
и значений параметра , при которых такие решения существуют.
Оператор здесь — это действующий на функцию линейный дифференциальный оператор второго порядка вида
(оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера), — вещественный аргумент.
Функции предполагаются непрерывными на , кроме того функции положительны на .
Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения , при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).
